Urodził się w Krakowie 30 marca 1892 r. Jego ojcem był Stefan Greczka, który był żołnierzem w wojsku austriackim, a następnie urzędnikiem w Krakowie, matką była Katarzyna Banach. Oboje rodzice byli z pochodzenia góralami. Banach wychowywał się w rodzinie zastępczej i miał kontakt jedynie z ojcem, który łożył na jego utrzymanie.
Od dziecka interesował się matematyką i lingwistyką. Ukończył IV Gimnazjum w Krakowie, a po zdanej maturze rozpoczął pracę w księgarni. Jednocześnie kontynuował naukę na Wydziale Inżynierii Lądowej Politechniki Lwowskiej uzyskując tzw. półdyplom po zaliczeniu egzaminu częściowego.
Z uwagi na wadę wzroku i leworęczność nie powołano go do wojska po wybuchu I wojny światowej. Zatrudniono go jako nadzorcę przy budowie drogi. Następnie powrócił do Krakowa, gdzie samodzielnie zgłębiał nauki matematyczne oraz dorabiał korepetycjami.
Przełomem w jego życiu okazało się przypadkowe spotkanie z dr Hugo Steinhausem, którego zainteresowała rozmowa prowadzona wówczas przez Banacha i Ottona Lebesgue’a, a dotyczyła teorii miary i całki. Od tego momentu Steinhause wziął pod skrzydła młodego matematyka. Dzięki niemu Banach uzyskał asystenturę w Katedrze Matematyki na Wydziale Mechanicznym Politechniki Lwowskiej u prof. Antoniego Łomnickiego. Mimo, iż Banach nie posiadał dyplomu ukończenia studiów wyższych doktoryzował się na Uniwersytecie Jana Kazimierza we Lwowie, a jego rozprawa traktowała m .in. o podstawowych twierdzeniach analizy funkcjonalnej. Ponadto w rozprawie zdefiniował tzw. „przestrzeń B” ”, którą Maurice Fréchet nazwał w 1926 r. „przestrzenią Banacha”.
Według zabawnej historii, Banach mimo, iż zajmował się matematyką zawodowo to nie planował, że osiągnie tytuł magistra. Podobno przełożeni Banacha wymyśli na to sposób i wysłali za nim asystentów. Nadmienić należy, że Stefan był stałym bywalcem lokali z wyszynkiem, które wyjątkowo sprzyjały jego pracy twórczej. Tam spisywał na kawałkach kartek, czy serwetek rozwiązania zagadnień. Asystenci zbierali notatki i na ich podstawie uznano je za pracę naukową Banacha. Jednakże droga do doktoryzacji była spełniona połowicznie, gdyż trzeba było zdać egzamin. Pod pretekstem rozwiązania pewnych problemów matematycznych przybyłych gości poproszono Banach do dziekanatu, by wytłumaczył kluczowe kwestie. W rzeczywistości goście okazali się być komisją doktorską przybyłą z Warszawy, a sam Banach był ponoć nieświadom, iż właśnie zdaje egzamin.
W rzeczywistości Banach miał ukończone 4 lata studiów co uprawniało go do starania o tytuł doktora. Pracę doktorską złożył w czerwcu 1920 r., a następnie przystąpił do egzaminów, które zdał celująco. Oficjalnie stopień doktora uzyskał 22 stycznia 1921 r., następnie habilitował się na Uniwersytecie Jana Kaźmierza, a później otrzymał nominację na profesora nadzwyczajnego, a w 1927 na zwyczajnego. W 1924 r. został członkiem Polskiej Akademii Nauk.
Wybitny matematyk cały czas rozwiał swój warsztat kierując w latach 1922-1939 zakładem w Instytucie Matematycznym Uniwersytetu Jana Kaźmierza. Był niekwestionowanym autorytetem z zakresu analizy funkcjonalnej, co dało podwaliny pod lwowską szkołę matematyczną. W swoim dorobku naukowym miał ponad 60 pozycji, a jego osiągnięcia były wielokrotnie nagradzane. Zyskał również poszanowanie wśród matematyków z całego świata.
Kiedy wybuchła II wojna światowa był profesorem na Uniwersytecie Lwowskim, a jednocześnie dziekanem na Wydziale Matematyczno-Fizycznym. Po zajęciu Lwowa przez Niemców stracił posadę wskutek zamknięcia Uniwersytetu. Zmusiło go to by zostać karmicielem wszy u profesora Rudolfa Weigla, co jednocześnie ochroniło go przed represjami. Następnie w latach 1442-1944 powrócił do nauczania i wykładał matematykę na Państwowych Technicznych Kursach Zawodowych. Kiedy Lwów został zajęty przez Armię Czerwoną w lipcu 1944 r. powrócił na Uniwersytet Lwowski, gdzie kierował katedrą matematyki. Ponadto wykładał w Lwowskim Instytucie Politechnicznym.
Banach szykował się do wyjazdu do Krakowa, gdzie miał wykładać na Uniwersytecie Jagiellońskim, kiedy to w styczniu 1945 r. zachorował na nowotwór. Niestety, 31 sierpnia tegoż roku zmarł. Pochowano go na cmentarzu Łyczakowskim, a na pogrzeb przyszły pożegnać go tłumy mieszkańców.
Publikacja powstała dzięki wsparciu Fundacji KGHM Polska Miedź